PERMÜTASYON :
Tanim : r ve n pozitif dogal sayilar ve r < n olmak üzere , n elemanli bir A kümesinin r elemanli sirali r’ lilerine A kümesinin r’ li permütasyonlari denir.
n elemanli A kümesinin r’ li permütasyonlarinin sayisi P (n,r) = n! / (n-r)! formülü ile bulunur.
Örnek: Farkli renkte 7 mendilin 3’ ü, bir ögrenciye 1 mendil verilmek sartiyla 3 ögrenciye kaç farkli sekilde verilebilir?
Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayisi 7 ' dir. n = 7 , üç mendil dagitilacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;
P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farkli sekilde dagitilabilir.
Uyari :
i. i. n elemanli bir kümenin n’li permütasyonlarinin sayisi,
Yani P(n,n) = n.(n-1)......1 = n!’ dir.
ii. n elemanli bir kümenin 1’ li permütasyonlarinin sayisi, P (n,1) = n’dir.
iii. Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanin kuraliyla da çözülebilecegine ; ancak, çarpma kuraliyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyecegine dikkat ediniz.
Örnek: 5 Bay ve 3 bayan yan yana siralanacaktir.
Bu 8 kisi yan yana kaç farkli sekilde siralanabilir?
Bu 8 kisi bayanlar yan yana gelmek sartiyla kaç farkli sekilde siralanabilir?
Bu 8 kisi bayanlar yan yana gelmemek sartiyla kaç farkli sekilde siralanabilir?
Çözüm :
8 Kisi yan yana 8! farkli sekilde siralanir.
Bayanlar 1 kisi gibi düsünülürse 6 kisinin siralanisi söz konusu olur. 6 kisi yan yana 6! farkli sekilde siralanir, ayrica bayanlar kendi aralarinda 3! farkli sekilde siralanir. Buna göre bu 8 kisi bayanlar yan yana gelmek sartiyla 6!. 3! farkli sekilde siralanabilir.
Mümkün olan bütün siralanislarin sayisi 8! ve bayanlarin 3’ünün yan yana geldigi siralanislarin sayisi 6!. 3! Oldugu için bayanlarin 3’ünün yan yana gelmedigi siralanislarin sayisi, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.
Dönel (dairesel) siralama :
Tanim : n tane farkli elemanindaire seklinde bir yere siralamasina, n elemanin dönel (dairesel) siralamasi denir. Dairesel siralamada en bastaki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n elemanin dönel (dairesel) siralamalarinin sayisi düz bir hatta siralanmaya göre 1 eksik eleman alinarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanin dönel (dairesel) siralamalarinin sayisi (n-1)! olur.
Örnek: 7 kisilik bir heyet bir masa etrafinda oturacaktir.
Bu heyet yuvarlak bir masa etrafinda kaç farkli sekilde oturabilir?
Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farkli sekilde oturabilir?
Heyet baskani ve yardimcisi yan yana gelmek sartiyla yuvarlak bir masa etrafinda kaç farkli sekilde oturabilirler?
Çözüm :
7 kisi yuvarlak masa etrafinda (7-1)! = 6! farkli sekilde oturabilir.
Bu heyet düz bir masa etrafinda 7! farkli sekilde oturabilir.
Baskan ve yardimcisini bir kisi gibi düsünelim. Bu durumda 6 kisinin yuvarlak masa etrafinda oturmasi sözkonusu olur. 6 kisi yuvarlak masa etrafinda (6-1)! = 5! farkli sekilde oturabilir. Ayrica baskan ve yardimci aralarinda 2! degisik sekilde oturabilir. Buna göre heyet, baskan ve yardimci yan yana gelmek sartiyla, 5!. 2! farkli sekilde oturabilir.
Tekrarli permütasyonlar :
Tanim : n tane nesnenin n1 tanesi 1. çesitten, n2 tanesi 2. çesitten, ......., nr tanesi de r. çesitten olsun.
n= n1+ n2+ ........... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n’li permütasyonlarinin sayisi,
(n1 ,n2 , ..., nr ) = n! / n1!.n2!...nr ‘ dir.
Örnek: “ BABACAN” sözcügünün harfleriyle 7 harfli anlamli ya da anlamsiz kaç farkli kelime yazilabilir?
Çözüm : 2 tane B harfi oldugu için n1 = 2
3 tane A harfi oldugu için n2 = 3,
1 tane C harfi oldugu için n3 = 1 ve bir tane N harfi oldugu için
n4 = 1 olsun. Buna göre farkli sözcüklerin sayisi,
(2,3,1,1) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 ‘ dir.
KOMBINASYON
Tanim : r ve n pozitif dogal sayilar ve r < n olmak sartiyla n elemanli bir A kümesinin r elemanli alt kümelerinin her birine, A kümesinin r ’ li kombinasyonu denir.
n elemanli kümenin r’li kombinasyonlarinin sayisi, K(n,r), C(n,r), C nr ya da
( nr ) ile gösterilir. Burada C (n,r) veya ( nr ) gösterimleri kullanilacaktir.
n elemanli kümenin r ' li kombinasyonlarinin sayisi,
C(n,r) = ( nr ) = n! / r! . (n-r)! formülü ile bulunur.
UYARI : Permütasyonda siralama, kombinasyonda ise seçme sözkonusudur.
( nx ) = ( ny ) ise x = y veya x + y = n olur.
( n0 ) = 1
( n1 ) = n
( nn ) = 1
Örnek: Ali ve Veli’nin de aralarinda bulundugu 6 kisi arasindan, aralarinda Ali’nin bulundugu ve Veli’nin bulunmadigi 4 kisilik grup kaç farkli sekilde seçilebilir?
Çözüm : Ali ve Veli arasindan Ali seçilir, Veli seçilmez ve diger 4 kisi arasindan 3 kisi seçilirse istenen sart saglanir. Buna göre, Veli seçme disidir. Ali’ yi mutlaka seçecegiz ve Veliyi disarda birakacagimiz için seçmeye katilacak 6 - 2 = 4 kisi kalir. Bu 4 kisi arasindan 3 kisinin seçimi C (4,3) ile bulunur.
C (4,3) = 4! / (4-3)!. 3! = 4.3.2.1 / 1.3.2.1 = 4’ tür.
| 