A. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI
1. Kapalı Aralık
a < b olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel (gerçel) sayıları kapsayan aralık
[a, b] veya a £ x £ b, x Î IR biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur.
2. Açık Aralık ve Yarı Açık Aralık
(a, b) veya a < x < b, x Î IR ifadesine açık aralık denir.
ii) (a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen aralığa yarı açık aralık denir.
[a, b) veya a £ x < b ifadesine sağdan açık aralık denir.
B. EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ
1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır. a < b
a + c < b + c
a – d < b – d dir.
2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
|
a < b
c > 0 ise, a . c < b . c
d < 0 ise, a . d > b . d
k > 0 ise,
m < 0 ise,
|
3) 0 < a < b ise,
4) a < b < 0 ise,
5) a < 0 < b ise,
6) 0 < a < b ve n Î IN+ ise, an < bn dir.
|
7) a < b < 0 ve n Î IN+ ise, |
a2n > b2n |
|
|
a2n+1 < b2n+1 |
(2n : Çift doğal sayıdır.)
(2n+1 : Tek doğal sayıdır.)
8) a < b ve b < c ® a < c dir.
9) 0 < a < 1 ve n Î IN+ – {1} ise, an < a dır.
10) a > b
+ c > d
¾¾ ¾¾¾¾¾¾
a + c > b + d
11) 0 < a < b
x 0 < c < d
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
0 < a . c < b . d
12) a . b < 0 ise, a ile b zıt işaretlidir.
13) a . b > 0 ise, a ile b aynı işaretlidir.
MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
A. TANIM
Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.
|x| biçiminde gösterilir.
|
Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır. |
B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
1) |x| = |– x| ve |a – b| = |b – a| dır.
2) |x . y| = |x| . |y|
3) |xn| = |x|n
4) y ¹ 0 olmak üzere,
5) |x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y|
6) a ³ 0 ve x Î IR olmak üzere,
|x| = a ise, x = a veya x = – a dır.
7) |x| = |y| ise, x = y veya x = – y dir.
8) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
|x – a| + |x – b|
ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.
9) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
|x – a| – |x – b|
ifadesinin en küçük değeri x = a için, en büyük değeri ise x = b için bulunur.
10) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
i. |x| < a ise, – a < x < a dır.
ii. |x| £ a ise, – a £ x £ a dır.
11) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
i. |x| > a ise, x < – a veya x > a dır.
ii. |x| ³ a ise, x £ – a veya x ³ a dır. | 